Równanie prostej w postaci kierunkowej:
[tex]y=ax+b[/tex]
[tex]a[/tex] - współczynnik kierunkowy
[tex]b[/tex] - wyraz wolny (miejsce przecięcia [prostej w osią OY)
Twierdzenie:
Niech dane będą proste:
[tex]k:y=a_1x+b_1,\ l:y=a_2x+b_2[/tex]
wówczas:
[tex]k\ \perp\ l\iff a_1\cdot a_2=-1\\\\k\ \parallel\ l\iff a_1=a_2[/tex]
W zadaniu mamy dane proste:
[tex]k:y=(m+2)x+1;\ l:y=\dfrac{1}{2}x-m[/tex]
stąd mamy:
[tex]a_1=m+2;\ a_2=\dfrac{1}{2}[/tex]
Na podstawie twierdzenia mamy:
[tex]k\ \parallel\ l\iff m+2=\dfrac{1}{2}[/tex]
Rozwiązujemy równanie:
[tex]m+2=\dfrac{1}{2}\qquad|-2\\\huge\boxed{m=-1\dfrac{1}{2}}[/tex]
Czyli mamy równania prostych w postaci:
[tex]y=\left(-1\dfrac{1}{2}+2\right)x+1=\dfrac{1}{2}x+1\\\\y=\dfrac{1}{2}x-\left(-1\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}x+1\dfrac{1}{2}[/tex]
Na podstawie twierdzenia mamy:
[tex]k\ \perp\ l\iff\dfrac{1}{2}(m+2)=-1[/tex]
Rozwiązujemy równanie:
[tex]\dfrac{1}{2}(m+2)=-1\qquad|\cdot2\\\\2\!\!\!\!\diagup^1\cdot\dfrac{1}{2\!\!\!\!\diagup_1}(m+2)=2\cdot(-1)\\\\m+2=-2\qquad|-2\\\\\huge\boxed{m=-4}[/tex]
Czyli mamy równania prostych w postaci:
[tex]y=(-4+2)x+1=-2x+1\\\\y=\dfrac{1}{2}x-(-4)=\dfrac{1}{2}x+4[/tex]
