Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma pole całkowite 240cm², krawędź boczna jest cztery raz dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz sumę wszystkich krawędzi oraz objętość.
Oznaczmy:
[tex]a[/tex] - krawędź podstawy
[tex]4x[/tex] - krawędź boczna
Pole całkowite graniastosłupa:
[tex]P_c=2P_p+P_b[/tex]
[tex]P_p[/tex] - pole podstawy
[tex]P_b[/tex] - pole powierzchni bocznej
Objętość graniastosłupa:
[tex]V=P_p\cdot H[/tex]
[tex]H[/tex] - wysokość graniastosłupa
Mamy graniastosłup prawidłowy czworokątny. W podstawie jest kwadrat o boku [tex]x[/tex]. Powierzchnia boczna tego graniastosłupa składa się z czterech przystających prostokątów o wymiarach [tex]x\times4x[/tex].
Wszystkich krawędzi podstawy jest 8, a krawędzi bocznych 4. Zatem suma długości krawędzi tego graniastosłupa będzie się wyrażać wyrażeniem postaci:
[tex]S=8x+4\cdot4x=8x+16x=24x[/tex]
Objętość tego graniastosłupa będzie wyrażać się wyrażeniem:
[tex]V=x^2\cdot4x=4x^3[/tex]
Pole całkowite tego graniastosłupa będzie wyrażać się wyrażeniem:
[tex]P_c=2x^2+4\cdot x\cdot 4x=2x^2+16x^2=18x^2[/tex]
Podstawiamy wartość pola powierzchni całkowitej:
[tex]P_c=240cm^2[/tex]
Obliczamy [tex]x[/tex]:
[tex]18x^2=240\qquad|:18\\\\x^2=\dfrac{240}{18}\\\\x^2=\dfrac{120}{9}\to x=\sqrt{\dfrac{120}{9}}\\\\x=\dfrac{\sqrt{120}}{\sqrt9}\\\\x=\dfrac{\sqrt{4\cdot30}}{3}\\\\\boxed{x=\dfrac{2\sqrt{30}}{3}(cm)}[/tex]
[tex]S=24\cdot\dfrac{2\sqrt{30}}{3}\\\\\huge\boxed{S=16\sqrt3\ cm}[/tex]
[tex]V=4\cdot\left(\dfrac{2\sqrt{30}}{3}\right)^3=4\cdot\dfrac{8\cdot30\sqrt{30}}{27}\\\\\huge\boxed{V=\dfrac{320\sqrt{30}}{9}\ cm^3}[/tex]
Graniastosłup, jest to bryła posiadająca dwie równoległe podstawy, które są przystającymi wielokątami, a ściany boczne są równoległobokami.
Graniastosłup prosty, to graniastosłup, którego ściany boczne są prostokątami prostopadłymi do podstaw.
Graniastosłup prawidłowy, to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny, a co za tym idzie, ściany boczne są przystającymi prostokątami.
