Przede wszystkim te pierwiastki muszą istnieć, a więc musi być spełniony warunek [tex]\Delta > 0[/tex] (zakładam, że pierwiastki mają być różne).
[tex]\Delta=(2m)^2-4\cdot2\cdot (-1)=4m^2+8\\\\4m^2+8 > 0\\4m^2 > -8\\m^2 > -2\\m\in \mathbb{R}[/tex]
Z czego wynika, że pierwiastki istnieją niezależnie od wartości parametru [tex]m[/tex].
Drugi warunek, jaki pierwiastki muszą spełniać, to [tex]x_1=\sin \alpha[/tex] i [tex]x_2=\cos \alpha[/tex].
Z jedynki trygonometrycznej mamy [tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex].
Zatem możemy zapisać, że [tex]x_1^2+x_2^2=1[/tex].
Wykorzystując wzory skróconego mnożenia i wzory Viete'a, wyrażamy sumę [tex]x_1^2+x_2^2[/tex] jako wyrażenie zależne od parametru [tex]m[/tex].
[tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \Rightarrow a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\\x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}[/tex]
A więc
[tex]x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\\x_1+x_2=\dfrac{-2m}{2}=-m\\x_1x_2=-\dfrac{1}{2}\\\\x_1^2+x_2^2=(-m)^2-2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=m^2+1[/tex]
Zatem
[tex]m^2+1=1\\m^2=0\\m=0[/tex]
