Dane są masa i prędkości wzdłuż osi X oraz Y dla 2 kul. Zadanie polega na przedstawieniu wzorów na prędkości kul wzdłuż osi X oraz Y po odbiciu sprężystym bez utraty energii.

Udało mi się odnaleźć następujące wzory, ale przy ich zastosowaniu osobno dla osi X oraz Y kule zaczynają podążać w jednym kierunku (prędkości wychodzą identyczne), lub zatrzymują się. Czy potrzebna jest jakaś inna modyfikacja tych wzorów dla osi x oraz y?
[tex]v_1_k=\frac{(m_1-m_2)}{(m_1+m_2)}v_1_p + \frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2_p\\v_2_k=\frac{(m_2-m_1)}{(m_1+m_2)}v_2_p + \frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1_p[/tex]

Wzory to są słuszny tylko dla zderzenia centralnego, czyli gdy wszystko odbywa się w jednym wymiarze. Jeśli zderzenie ma charakter dwuwymiarowy, to znaczy, że jest ono niecentralne.

Dla ułatwienia przyjmę, że zderzenie odbywa się kierunku osi OX (jeśli tak nie jest, to zawsze można dokonać odpowiedniej transformacji).

Początkowe prędkości:

[tex]\vec{V}_1=[V_{1x};V_{1y}]\\\vec{V}_2=[V_{2x};V_{2y}][/tex]

posłużę się jednak układem inercjalnym, w którym druga masa się nie porusza. Mamy wtedy prędkością względną:

[tex]\vec{V}=\vec{V}_1-\vec{V}_2=[V_x;V_y][/tex]

Zasada zachowania pędu:

[tex]m_1V_x=m_1u_{1x}+m_2u_{2x}\\m_1V_y=m_1u_{1y}\\0=m_2u_{2y}[/tex]

w kierunku osi OY nic się nie dzieje - zderzenie jest w kierunku osi OX, więc składowa y-owa się nie zmienia

Zasada zachowania energii:

[tex]\frac{1}{2}m_1(V_x^2+V_y^2)=\frac{1}{2}m_1(u_{1x}^2+u_{1y}^2)+\frac{1}{2}m_2(u_{2x}^2+u_{2y}^2)[/tex]

uwzględniając związek między składowymi y-owymi:

[tex]m_1V_x^2=m_1u_{1x}^2+m_2u_{2x}^2[/tex]

oraz, wynikający z zasady zachowania pędu związek między składowymi x-owymi:

[tex]m_1u_{1x}=m_1V_x-m_2u_{2x}\\m_1^2V_x^2=(m_1V_x-m_2u_{2x})^2+m_1m_2u_{2x}^2\\m_1^2V_x^2=m_1^2V_x^2+m_2^2u_{2x}^2-2m_1m_2V_xu_{2x}+m_1m_2u_{2x}^2\\(m_1+m_2)u_{2x}^2-2m_1V_xu_{2x}=0[/tex]

Stąd mamy rozwiązania:

[tex]u_{2x}=0\ \textrm{trywialne}\\u_{2x}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}V_x[/tex]

oraz:

[tex]u_{1x}=V_x-\frac{m_2}{m_1}u_{2x}\\u_{1x}=V_x\ \textrm{trywialne}\\u_{1x}=V_x-\frac{2m_1m_2}{m_1(m_1+m_2)}V_x=\frac{m1-m_2}{m_1+m_2}V_x[/tex]

zatem po zderzeniu mamy prędkości:

[tex]\vec{u}_{1}=[\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}V_x;V_y]\\\vec{u}_{2}=[\frac{2m_1}{m_1+m_2}V_x;0][/tex]

Natomiast jeżeli wrócimy do początkowego układu odniesienia, który jest związany ze spoczywającym obserwatorem:

[tex]\vec{V}_{1k}=\vec{u}_{1}+\vec{V}_2\\\vec{V}_{2k}=\vec{u}_{2}+\vec{V}_2\\\vec{V}_{1k}=[\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}(V_{1x}-V_{2x})+V_{2x};V_{1y}\\\vec{V}_{2k}=[\frac{2m_1}{m_1+m_2}(V_{1x}-V_{2x})+V_{2x};V_{2y}]\\\vec{V}_{1k}=[\frac{(m_1-m_2)}{m_1+m_2}V_{1x}+\frac{2m_2}{m_1+m_2}V_{2x};V_{1y}]\\\vec{V}_{2k}=[\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}V_{2x}+\frac{2m_1}{m_1+m_2}V_{1x};V_{2y}][/tex]

W ogólnym przypadku musimy jeszcze znać kierunek zderzenia. Wyznacza go wektor między środkami zderzających się mas i jak widać, nie ma on sensu, gdy rozważamy masy punktowe - te zderzają się zawsze centralnie i proces jest jednowymiarowy.

pozdrawiam