Odpowiedź:
Korzystamy z warunku na kolejne wyrazy ciągu geometrycznego
[tex]a_n \: ^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1} \\ \\ (\sqrt{2} \sin{x})^{2} = 1 \cdot \cos{2x}[/tex]
Mamy do rozwiązania równanie trygonometryczne
[tex](\sqrt{2} \sin{x})^{2} = 1 \cdot \cos{2x} \\ \\ 2 \sin^{2}{x} = \cos{2x} \\ \\ 2 \sin^{2}{x} = \cos^{2} {x} - \sin^{2} {x} \\ \\ 3 \sin^{2}{x} = \cos^{2}{x} \\ \\ 3 \sin^{2}{x} = 1 - \sin^{2}{x} \\ \\ 4\sin^{2}{x} = 1 \\ \\ \sin^{2}{x} = \frac{1}{4} \\ \\ \sin{x} = \frac{1}{2} \qquad \vee \qquad \sin{x} = - \frac{1}{2}[/tex]
Ponieważ jesteśmy w przedziale <0,2Pi> to rozwiązania możemy odczytać korzystając z tabelki oraz wykresów
[tex]\sin{x} = \frac{1}{2} \qquad \vee \qquad \sin{x} = - \frac{1}{2} \\ \\ x= \frac{ \pi}{6} \: \vee \: x = \frac{5\pi}{6} \: \vee \: x= \frac{7 \pi}{6} \: \vee \: x = \frac{11\pi}{6}[/tex]
Mamy więc cztery rozwiązania
[tex]x= \frac{ \pi}{6} \: \vee \: x = \frac{5\pi}{6} \: \vee \: x= \frac{7 \pi}{6} \: \vee \: x = \frac{11\pi}{6}[/tex]
