Równanie kwadratowe z parametrem.
Mamy równanie:
[tex](x-3)(x^2+(m-1)x-6m^2+2m)=0[/tex]
Ma posiadać dokładnie dwa pierwiastki.
Z zerowego iloczynu wiemy, że jeden z czynników musi być zerowy.
Stąd:
[tex](x-3)(x^2+(m-1)x-6m^2+2m)=0\\\Updownarrow\\x-3=0\ \vee\ x^2+(m-1)x-6m^2+2m=0\\\\\boxed{x=3}[/tex]
W ten sposób mamy już jeden pierwiastek.
W związku z tym drugie równanie musi też posiadać jeden pierwiastek różny 3 lub posiadać dwa, z których jeden jest równy 3.
Równanie kwadratowe posiada jedno rozwiązanie, gdy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego ax² + bx + c jest równy 0.
Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania, gdy Δ > 0.
Δ = b² - 4ac
Obliczamy wyróżnik:
[tex]a=1,\ b=m-1,\ c=6m^2+2m\\\\\Delta=(m-1)^2-4\cdot1\cdot(-6m^2+2m)=m^2-2m+1+24m^2-8m\\\\\Delta=25m^2-10m+1[/tex]
Możemy zauważyć, że mamy tu do czynienia z zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia:
(a - b)² = a² - 2ab + b²
[tex]\Delta=(5m)^2-2\cdot5m\cdot1+1^2=(5m-1)^2[/tex]
Rozpatrujemy pierwszy przypadek, gdy równanie ma jedno rozwiązanie:
[tex]\Delta=0\iff(5m-1)^2=0\iff5m-1=0\qquad|+1\\\\5m=1\qquad|:5\\\\\huge\boxed{m=\dfrac{1}{5}}[/tex]
Sprawdźmy, czy dla tej wartości parametru pierwiastek nie jest równy 3 podstawiając do wzoru na pierwiastek równania gdy Δ = 0:
[tex]x=\dfrac{-b}{2a}\\\\b=m-1\to b=\dfrac{1}{5}-1=-\dfrac{4}{5}\\\\x=\dfrac{-\left(-\frac{4}{5}\right)}{2\cdot1}=\dfrac{\frac{4}{5}}{2}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}\neq3[/tex]
Rozpatrujemy drugi przypadek, gdy równanie ma dwa rozwiązania i jedno z nich jest równe 3.
[tex]\Delta > 0\iff(5m-1)^2 > 0\iff m\neq\dfrac{1}{5}[/tex]
Pierwiastki wówczas mają postać:
[tex]x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a},\ x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}[/tex]
We wzorach występuje √Δ.
[tex]\sqrt\Delta=\sqrt{(5m-1)^2}=|5m-1|[/tex]
Rozpiszmy wartość bezwzględną z definicji:
[tex]|5m-1|=\left\{\begin{array}{ccc}5m-1&\text{dla}&m\geq\dfrac{1}{5}\\\\1-5m&\text{dla}&m < \dfrac{1}{5}\end{array}\right[/tex]
[tex]1)\ \text{zalozenie}:\ x\in\left(-\infty,\ \dfrac{1}{5}\right)\\\\\sqrt\Delta=1-5m\\\\x_1=\dfrac{-(m-1)-(1-5m)}{2\cdot1}=\dfrac{-m+1-1+5m}{2}=\dfrac{4m}{2}=2m\\\\x_1=3\iff2m=3\qquad|:2\\\\m=\dfrac{3}{2}\notin\left(-\infty,\ \dfrac{1}{5}\right)\\\\x_2=\dfrac{-(m-1)+(1-5m)}{2\cdot1}=\dfrac{-m+1+1-5m}{2}=\dfrac{2-6m}{2}=1-3m\\\\x_2=3\iff1-3m=3\qquad|-1\\\\-3m=2\qquad|:(-3)\\\\\huge\boxed{m=-\dfrac{2}{3}\in\left(-\infty,\ \dfrac{1}{5}\right)}[/tex]
[tex]2)\ \text{zalozenie}:x\in\left < \dfrac{1}{5};\ \infty\right)\\\\\sqrt\Delta=5m-1\\\\x_1=\dfrac{-(m-1)-(5m-1)}{2\cdot1}=\dfrac{-m+1-5m+1}{2}=\dfrac{2-6m}{2}=1-3m\\\\x_1=3\iff 1-3m=3\qquad|-1\\\\-3m=2\qquad|:(-3)\\\\m=-\dfrac{2}{3}\notin\left < \dfrac{1}{5};\ \infty\right)\\\\x_2=\dfrac{-(m-1)+5m-1}{2\cdot1}=\dfrac{-m+1+5m-1}{2}=\dfrac{4m}{2}=2m\\\\x_2=3\iff2m=3\qquad|:2\\\\\huge\boxed{m=\dfrac{3}{2}\in\left < \dfrac{1}{5};\ \infty\right)}[/tex]
Ostatecznie mamy rozwiązanie:
[tex]\huge\boxed{m\in\left\{-\dfrac{2}{3},\ \dfrac{1}{5},\ \dfrac{3}{2}\right\}}[/tex]
