Odpowiedź:
[tex]m\in(-\frac{1}{3},1)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Aby prosta miała 2 punkty wspólne z okręgiem, odległość środka okręgu od prostej musi być mniejsza od długości promienia, czyli musi być spełniony warunek:
[tex]d(S,k) < r[/tex]
Odległość punktu od prostej można policzyć ze wzoru:
[tex]d(P,l)=\frac{|Ax_P+By_P+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex]
Przedstawmy prostą w postaci ogólnej.
[tex]y=(m-1)x+m+2\\(m-1)x-y+m+2=0[/tex]
Ponadto dane mamy [tex]S=(1,2)[/tex] i [tex]r=1[/tex].
Zatem
[tex]\frac{|(m-1)*1-2+m+2|}{\sqrt{(m-1)^2+(-1)^2}} < 1\\\frac{|m-1+m|}{\sqrt{m^2-2m+1+1}} < 1\\\frac{|2m-1|}{\sqrt{m^2-2m+2}} < 1\ |*\sqrt{m^2-2m+2}\\|2m-1| < \sqrt{m^2-2m+2}[/tex]
Obie strony nierówności są nieujemne, więc można podnieść obustronnie do kwadratu.
[tex]|2m-1| < \sqrt{m^2-2m+2}\ |^2\\4m^2-4m+1 < m^2-2m+2\\3m^2-2m-1 < 0\\\Delta=(-2)^2-4*3*(-1)=4+12=16\\\sqrt\Delta=4\\m_1=\frac{2-4}{2*3}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3} \\m_2=\frac{2+4}{2*3}=\frac{6}{6}=1\\m\in(-\frac{1}{3},1)[/tex]
