Odpowiedź:
[tex]r=\sqrt{2}\approx1,4142[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zapiszmy obwód prostokąta przy pomocy zmiennych, które będą jego bokami:
[tex]L=2x+2y\\8=2x+2y\\4=x+y[/tex]
Przy czym:
[tex]D=\bigg\{\bigg(x \ ; \ y\bigg)\in\mathbb{R}: \ x>0 \ \ \ \wedge \ \ \ y>0\bigg\}[/tex]
Wyznaczamy jedną zmienną:
[tex]y=4-x[/tex]
Zapiszmy pole powierzchni takiego prostokąta:
[tex]P(x)=x\cdot y=x(4-x)[/tex]
Pole opisane jest funkcją kwadratową, której ramiona skierowane są w dół. Oznacza to, że funkcja ta posiada maksimum. Szukamy największego pola powierzchni - w tym celu wyznaczamy ekstremum powyższej funkcji (funkcja kwadratowa ma zawsze tylko jedno ekstremum):
[tex]\frac{d}{dx} P(x)=4-2x[/tex]
Przyrównujemy pochodną do zera:
[tex]4-2x=0\\x=2[/tex]
wyznaczyliśmy jeden z boków naszego prostokąta, znajdujemy maksymalne pole oraz drugi bok:
[tex]P(2)=2\cdot(4-2)=4[/tex]
[tex]y=4-2=2[/tex]
Zatem prostokątem o obwodzie równym [tex]8[/tex] i maksymalnym polu powierzchni jest kwadrat o boku [tex]2[/tex]. Stąd wniosek, że promień okręgu opisanego na tym kwadracie jest równy połowie jego przekątnej, czyli:
[tex]d=a\sqrt{2} =2\sqrt{2} \\\\r=\frac{1}{2}\cdot d=\sqrt{2}[/tex]
