Rozwiązanie:
Wysokość podstawy w takim graniastosłupie wyraża się wzorem:
[tex]h_{p}=\frac{a\sqrt{3} }{2}[/tex]
gdzie [tex]a[/tex] to krawędź podstawy. Niech [tex]H[/tex] będzie wysokością graniastosłupa. Wówczas z zadania wiemy, że:
[tex]\frac{h_{p}}{H}=2\\H=\frac{1}{2}h_{p} =\frac{1}{2} *\frac{a\sqrt{3} }{2}=\frac{a\sqrt{3} }{4}[/tex]
Korzystamy z informacji o polu powierzchni całkowitej:
[tex]P_{pc}=2*\frac{a^{2}\sqrt{3} }{4}+3aH=\frac{a^{2}\sqrt{3} }{2} +3a*\frac{a\sqrt{3} }{4} =\frac{a^{2}\sqrt{3} }{2} +\frac{3}{2}* \frac{a^{2}\sqrt{3} }{2}=\frac{5}{2} *\frac{a^{2}\sqrt{3} }{2}[/tex]
Ponadto wiemy, że:
[tex]P_{pc}=20\sqrt{3}[/tex], więc:
[tex]20\sqrt{3}=\frac{5}{2}*\frac{a^{2}\sqrt{3} }{2}\\80\sqrt{3}=5a^{2}\sqrt{3}\\5a^{2}=80\\a^{2}=16\\a=4cm[/tex]
Do objętości potrzeba nam jeszcze [tex]H[/tex]:
[tex]H=\frac{a\sqrt{3} }{4}=\sqrt{3}[/tex]
Zatem objętość graniastosłupa, to:
[tex]V=P_{p}H=\frac{a^{2}\sqrt{3} }{4} *H=4\sqrt{3} *\sqrt{3}=12cm^{3}[/tex]
