Odpowiedź:
[tex]P_{max}=9, a=3\sqrt{2+\sqrt{3} } , b=3 \sqrt{2-\sqrt{3} }[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Przyjmijmy oznaczenia takie, jakie są w załączniku.
Pole równoległoboku wyraża się wzorem:
[tex]P=\frac{1}{2}xysin\alpha[/tex]
Wiemy, że [tex]x+y=12[/tex] ⇔ [tex]y=12-x[/tex], więc możemy zapisać wzór na pole za pomocą jednej zmiennej:
[tex]P=\frac{1}{2}x(12-x)sin\alpha =\frac{1}{4} x(12-x)=-\frac{1}{4}x^{2} +3x[/tex]
Zatem będziemy rozpatrywać funkcję:
[tex]P(x)=-\frac{1}{4}x^{2} +3x[/tex]
Wyznaczamy dziedzinę funkcji:
Z warunków geometrycznych zadania mamy [tex]x>0[/tex] ∧ [tex]12-x>0[/tex] ⇒ [tex]x[/tex] ∈ {[tex]0[/tex], [tex]12[/tex]}
Równoległobok będzie miał największe pole, gdy funkcja [tex]P(x)[/tex] będzie przyjmowała wartość największą.
Obliczamy odciętą wierzchołka paraboli (współrzędna [tex]x[/tex]):
[tex]p=\frac{-b}{2a} =\frac{-3}{-\frac{1}{2} } =6[/tex]
Obliczamy rzedną wierzchołka paraboli (współrzędna [tex]y[/tex]):
[tex]q=f(p)=9[/tex]
Zatem pole największego możliwego równoległoboku spełniającego warunki zadania jest równe [tex]9[/tex].
W tym równoległoboku przekątne mają długości: [tex]x=6, y=12-x=12-6=6[/tex]
Zauważmy, że przekątne są równe, aby obliczyć długości boków tego równoległoboku skorzystamy z twierdzenia cosinusów - najpierw w trójkącie [tex]BSC[/tex], a następnie w trójkącie [tex]ASB[/tex]:
[tex]BSC[/tex]: [tex]b^{2} =3^{2}+3^{2}-2*3^{2} *cos30[/tex]°
[tex]b^{2} =18-18*\frac{\sqrt{3} }{2} =18-9\sqrt{3}=9(2-\sqrt{3} )\\b=3\sqrt{2-\sqrt{3} }[/tex]
[tex]ASB:[/tex] [tex]a^{2} =3^{2}+3^{2}-2*3^{2}*cos150[/tex]°
[tex]a^{2}=18+18* \frac{\sqrt{3} }{2} =18+9\sqrt{3} =9(2+\sqrt{3})\\a=3\sqrt{2+\sqrt{3} }[/tex]
