Odpowiedź :
Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zad.1.
[tex]\frac{1}{4} -cos^2x=0[/tex]
D: x∈R
[tex]cos^2x=\frac{1}{4} \\[/tex]
[tex]cosx=\frac{1}{2}[/tex] ∨ [tex]cosx=-\frac{1}{2} \\[/tex]
[tex]x=\frac{\pi }{3}+2k\pi[/tex] lub [tex]x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi[/tex] [tex]x=\frac{2}{3} \pi+2k\pi[/tex] lub [tex]x=-\frac{2 }{3}\pi +2k\pi[/tex]
gdzie k∈C
Zad. 2.
a.
D: x-2≠0 i x+2≠0
x≠2 x≠-2
D=R\{-2, 2}
[tex]\frac{x-1}{x-2} -\frac{x+1}{x+2} =\frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)} =\frac{x^2-1}{x^2-4}[/tex]
b.
D: x²-1≠0 i 6x≠0
(x-1)(x+1)≠0 x≠0
x≠1 ∨ x≠-1
D=R\{-1, 0, 1}
[tex]\frac{3x+3x}{x^2-1} *\frac{x-1}{6x} =\frac{6x}{(x+1)(x-1)} *\frac{x-1}{6x}=\frac{1}{x+1} \\[/tex]
Zad.3.
a.
[tex]\frac{1}{x} =4\\[/tex]
D=R\{0}
[tex]4x=1[/tex]
x=1/4 ∈D
b.
[tex]\frac{3x-2}{2x-3} <3[/tex]
D: 2x-3≠0
x≠3/2 czyli D=R\{3/2}
[tex]\frac{3x-2}{2x-3} -3<0\\\frac{3x-2}{2x-3} -\frac{3(2x-3)}{2x-3} <0\\\frac{3x-2-6x+9}{2x-3} <0\\-3x+7<0\\-3x<-7\\x>\frac{7}{3}[/tex]
x∈(7/3, +∞)
c.
[tex]\frac{x+1}{4x} =\frac{1}{x-1}[/tex]
D: 4x≠0 i x-1≠0
x≠0 x≠1
D=R\{0, 1}
[tex]\frac{x+1}{4x} =\frac{1}{x-1}\\(x+1)(x-1)=1*4x\\x^2-1=4x\\x^2-4x-1=0\\del=b^2-4ac=16-4*1*(-1)=20\\\sqrt{20} =2\sqrt{5} \\x_1=\frac{4+2\sqrt{5} }{2}=2+\sqrt{5} \\x_2=\frac{4-2\sqrt{5} }{2}=2-\sqrt{5} \\[/tex]
[tex]x_1, x_2[/tex] ∈D
Zad.4
a.
[tex]sin\frac{\pi}{6} +sin\frac{\pi}{4} ++sin\frac{\pi}{2} =sin30`+sin45`+sin90`=\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{2}}{2} +1=1\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \sqrt{2} \\[/tex]
[tex]sin^2\frac{\pi }{3} *cos3\pi *tg\frac{\pi}{6} *ctg5\frac{\pi}{4}=sin^260`*(-1)*tg30`*1=-(\frac{\sqrt{3} }{2} )^2*\frac{\sqrt{3} }{3} =-\frac{1}{4}\sqrt{3}[/tex]
Zad.5
a.
jeżeli wiemy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu to P(2)=0
[tex]2^3+2^2+a*2+a=0\\[/tex]
8+4+3a=0
3a=-12
a=-4
b.
Rozkład na czynniki:
[tex]x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1)=(x^2-4)(x+1)=(x-2)(x+2)(x+1)[/tex]
P(x)<0
(x-2)(x+2)(x+1)<0
[tex]x_1=2[/tex] [tex]x_2=-2[/tex] [tex]x_3=-1[/tex]
Zaznaczasz pierwiastki na osi i rysujesz wykres zaczynając od prawej strony. Przy najwyższej potędze współczynnik jest dodatni więc zaczynasz od góry, widać także, że każdy pierwiastek jest jednokrotny więc pojedynczo przechodzi przez punkt. P(x)<0 więc wybierasz przedziały gdzie wykres jest pod osią x
rozwiązaniem jest x∈(-∞, -2)∪(-1, 2)